cho nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C và D sao cho trên nửa đường tròn sao cho cung AC =CD =DB Các tiếp tuyến kẻ từ B và C của nửa đường tròn cắt nhau tại I hai tia AC và BD cắt nhau tại k Chứng minh rằng: a,các tam giác ABD và tam giác IBC đều là những tam giác đều b, tứ giác IKBC nội tiếp

a)

Vì $\overset\frown{AC}=\overset\frown{CD}=\overset\frown{DB}$

$\to \widehat{AOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOB}$

Mà $\widehat{AOC}\,;\,\widehat{COD}\,;\,\widehat{DOB}$ là $3$ góc kề bù

Nên $\widehat{AOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOB}=\frac{180{}^\circ }{3}=60{}^\circ $

$\bullet \,\,\,\,\,\Delta OAC$ cân tại $O$  ( vì $OA=OC=R$ )

Có $\widehat{AOC}=60{}^\circ \,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta OAC$ là tam giác đều

$\to \widehat{CAO}=60{}^\circ $

$\to \widehat{KAB}=60{}^\circ $

$\bullet \,\,\,\,\,\Delta OBD$ cân tại $O$  ( vì $OB=OD=R$ )

Có $\widehat{DOB}=60{}^\circ \,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta OBD$ là tam giác đều

$\to \widehat{DBO}=60{}^\circ $

$\to \widehat{KBA}=60{}^\circ $

$\Delta KAB$ có $\widehat{KAB}=\widehat{KBA}=60{}^\circ \,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta KAB$ là tam giác đều

$\Delta ACB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to \widehat{ACB}=90{}^\circ $

Ta có:

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=60{}^\circ $ ( vì $\Delta OAC$ là tam giác đều )

Mà:

$\begin{cases}\widehat{OAC}=\widehat{IBC}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ góc OBC }\right)\\\widehat{OCA}=\widehat{ICB}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ góc OCB }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{IBC}=\widehat{ICB}=60{}^\circ $

$\to \Delta IBC$ là tam giác đều

b)

$\Delta KAB$ là tam giác đều

$\to \widehat{CKB}=60{}^\circ $

$\Delta IBC$ là tam giác đều

$\to \widehat{CIB}=60{}^\circ $

Xét tứ giác $IKBC$, ta có:

$\widehat{CKB}=\widehat{CIB}=60{}^\circ $

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$

$\to IKBC$ là tứ giác nội tiếp