Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^2.(x^2-2x) với mọi x thuộc R. Có bao nhiêu số nguyên m nhỏ hơn bằng 20 để hàm số g(x) = f(x^2 - 8x + m) đồng biến trên (4; + vô cùng) Câu 23 giải sao ạ?? Giúp em với đang cần gấp

Đáp án:

B. 3

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} g(x) = f({x^2} - 8x + m)\\  \Rightarrow g'(x) = (2x - 8)f'({x^2} - 8x + m) \end{array}$

Để $g(x)$ đồng biến trên $(4; +∞)$

thì $(2x - 8)f'({x^2} - 8x + m) \ge 0\text{ trên }(4; + \infty )$

Vì $x∈(4; +∞)$ nên $2x-8>0$

Khi đó ta cần:

$f'({x^2} - 8x + m) \ge 0$ trên $(4; + \infty )$

$\begin{array}{l} f'(a) = {(a - 1)^2}({a^2} - 2a) \ge 0\\  \Leftrightarrow {a^2} - 2a \ge 0;\,a \ne 1\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a \ge 2\\ a \le 0 \end{array} \right. \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 8x + m \ge 2\\ {x^2} - 8x + m \le 0 \end{array} \right.\text{ trên }(4;\, + \infty )\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 8x \ge 2 - m\,\,\,(1)\\ {x^2} - 8x \le  - m \end{array} \right.\text{ trên }(4;\, + \infty )\\ \text{Xét }h(x) = {x^2} - 8x\text{ trên }(4;\, + \infty )\\\text{ là nửa phải của parabol với đỉnh }I(4, - 16)\\\text { bề lõm parabol phía dưới (như hình vẽ)}\\  \Rightarrow \text{ chỉ xảy ra }(1)\text{ vì }h(x)\text{ đi ra vô cùng không nhỏ hơn giá trị nào được}\\ \text{Khi đó: }2 - m \le  - 16\\  \Leftrightarrow m \ge 18 \end{array}$

Vậy $m∈ \{18,19,20\}$.