.............................

Đáp án: $1$

Giải thích các bước giải:

Đặt $4321^{1234}=A$

Ta có $4321$ chia $3$ dư $1$

$\to 4321^{1234}$ chia $3$ dư $1$

$\to A$ chia $3$ dư $1$

$\to A=3k+1, k\in N$

Lại có $4321$ chia $2$ dư $1$

$\to 4321^{1234}$ chia $2$ dư $1$

$\to A=2q+1, q\in N$

$\to 3k+1=2q+1$

$\to 3k=2q$

$\to 3k\quad\vdots\quad 2$

$\to k\quad\vdots\quad 2$

$\to k=2m$

$\to A=3\cdot 2m+1$

$\to A=6m+1$

$\to A$ chia $6$ dư $1$

Ta có:

$A=a_1+a_2+...+a_n$

$\to T=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3$

Trừ vế cho vế

$\to T-A=(a_1^3-a_1)+(a_2^3-a_2)+...+(a_n^3-a_n)$

Ta có:

$y^3-y=y(y^2-1)=y(y-1)(y+1)=(y-1)y(y+1)$

Vì $y-1, y, y+1$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp
$\to (y-1)y(y+1)\quad\vdots\quad 2,3$

$\to (y-1)y(y+1)\quad\vdots\quad 2\cdot 3$ vì $(2,3)=1$

$\to (y-1)y(y+1)\quad\vdots\quad 6$

$\to y^3-y\quad\vdots\quad 6$

$\to a_1^3-a_1, a_2^3-a_2, ..., a_n^3-a_n\quad\vdots\quad 6$

$\to T-A\quad\vdots\quad 6$

$\to T-A=6x$

$\to T=A+6x$

$\to T=6m+1+6x$

$\to T$ chia $6$ dư $1$