cho đường tròn (o) cố định và điểm M cố định nằm ngoài (o). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA,MB đến (o) (A,B là các tiếp điểm) và vẽ cát tuyến MIJ không đi qua tâm O, (I,J thuộc (O), I nằm giữa M và J ). a) Chứng minh rằng tứ giác MAOB nội tiếp b) Chứng minh rằng tam giác MAI đồng dạng với tam giác MJA và $\frac{MI}{MJ}$ = $\frac{AI^2}{ẠJ^2}$ c) Khi cát tuyến MIJ thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIJ luôn nằm trên một đường thẳng cố định

a)

Vì $MA,MB$ lần lượt là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90{}^\circ $

 

Xét tứ giác $MAOB$ có:

$\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\to MAOB$ là tứ giác nội tiếp

 

b)

Vẽ $AH$ vuông góc với cát tuyến $MIJ$ tại $H$

 

Xét $\Delta MAI$ và $\Delta MJA$ có:

$\widehat{AMJ}$ là góc chung

$\widehat{MAI}=\widehat{MIJ}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AI$ )

$\to \Delta MAI\sim\Delta MJA$

 

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta MAI}}}{{{S}_{\Delta MJA}}}={{\left( \dfrac{AI}{AJ} \right)}^{2}}$

 

$\to \dfrac{\dfrac{1}{2}\,.\,AH\,.\,MI}{\dfrac{1}{2}\,.\,AH\,.\,MJ}\,=\,\dfrac{A{{I}^{2}}}{A{{J}^{2}}}$

 

$\to \dfrac{MI}{MJ}\,=\,\dfrac{A{{I}^{2}}}{A{{J}^{2}}}$

 

c)

câu này nó hiển nhiên đúng rồi, có vẻ bị thiếu đề

 

Đường tròn $\left( O \right)$ cố định,

Cát tuyến $MIJ$ nên điểm $I,J$ luôn nằm trên đường tròn $\left( O \right)$

Cho dù cát tuyến $MIJ$ có thay đổi thì

$OI$ luôn luôn bằng $OJ$  ( cùng bằng bán kính của đường tròn )

Vì vậy đường tròn ngoại tiếp $\Delta OIJ$ chính là tâm $O$ cố định của đường tròn