Cho (O) đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (o) lấy 2 điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D. Đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. CMR: a, D,F,B,C cùng ∈ 1 đường tròn b,BF=BG c,DA/BA=( DG*DE)/(BE*BC)

Giải thích các bước giải:

a) Xét `(O)` có: `\hat{BFA}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

`=> \hat{BFA}=90^0 => \hat{BFC}=90^0`

`CD⊥BD => \hat{BDC}=90^0`

Xét tứ giác `BFDC` có:

`\hat{BFC}=\hat{BDC}=90^0`

mà 2 góc này ở vị trí cùng nhìn cạnh `BC`

`=>` tứ giác `BFDC` nội tiếp

`=> D, F, B, C` cùng thuộc một đường tròn

b) Xét `(O)` có `\hat{AEB}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

`=> \hat{AEB}=90^0 => AE⊥BE`

`=> AE⊥BC => \hat{CEA}=90^0`

Xét tứ giác `ADCE` có:

`\hat{CEA}=90^0; \hat{CDA}=90^0 (CD⊥BD)`

`=> \hat{CEA}=\hat{CDA}=90^0`

mà 2 góc này ở vị trí cùng nhìn cạnh `CA`

`=>` tứ giác `ADCE` nội tiếp `=> \hat{DCA}=\hat{DEA}` (cùng nhìn cạnh `DA`)

Tứ giác `BFDC` nội tiếp `=> \hat{DCF}=\hat{DBF}` (cùng nhìn cạnh `DF`)

`=> \hat{DCA}=\hat{ABF}`

`=> \hat{DEA}=\hat{ABF}` hay `\hat{GEA}=\hat{ABF}`

Xét `(O)` có: `\hat{GEA}` là góc nội tiếp chắn cung `AG`

`\hat{GBA}` là góc nội tiếp chắn cung `AG`

`=> \hat{GEA}=\hat{GBA}`

mà `\hat{GEA}=\hat{ABF} => \hat{GBA}=\hat{ABF}`

Xét `(O)` có `\hat{AGB}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

`=> \hat{AGB}=90^0`

Xét `ΔAGB` và `ΔAFB` có: 

`\hat{AGB}=\hat{AFB}=90^0`

`AB`: chung

`\hat{GBA}=\hat{ABF}`

`=> ΔAGB=ΔAFB` (cạnh huyền-góc nhọn)

`=> BF=BG`

c) Xét `ΔADE` và `ΔGDB` có:

`\hat{EDB}`: chung

`\hat{DEA}=\hat{DBG}`

`=>` $ΔADE\backsimΔGDB$ (g.g) 

`=> \frac{DA}{DG}=\frac{DE}{DB} => DA=\frac{DG.DE}{DB}`  (1)

Xét `ΔABE` và `ΔCBD` có: 

`\hat{AEB}=\hat{CDB}=90^0`

`\hat{ABC}`: chung

`=>` $ΔABE\backsimΔCBD$ (g.g)

`=> \frac{BE}{DB}=\frac{BA}{BC} => BA=\frac{BE.BC}{DB}`  (2)

Từ (1) (2) `=> \frac{DA}{BA}=\frac{DG.DE}{DB} : \frac{BE.BC}{BD} = \frac{DG.DE}{BE.BC}`