Chứng minh rằng: a) (2n+5)^2 - 25 chia hết cho 4 với mọi sô nguyên b) n^2 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n c) (5n+2)^2 - 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n d) 55^(n+1) - 55^n chia hết cho 54 với n là số tự nhiên. giải giúp mk câu 5 nha

Bài 5:

a) Chứng minh \({\left( {2n + 5} \right)^2} - 25\) chia hết cho \(4\) với mọi \(n \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \({\left( {2n + 5} \right)^2} - 25 = 4{n^2} + 20n + 25 - 25 = 4{n^2} + 20n = 4n\left( {n + 5} \right).\)

Vì \(4\,\, \vdots \,\,4 \Rightarrow 4n\left( {n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,4\,\,\,\forall n \in \mathbb{Z}.\)

b) Chứng minh \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \({n^3} - n = n\left( {{n^2} - 1} \right) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right).\)

Với mọi \(n \in \mathbb{Z} \Rightarrow n,\,\,n - 1\) là 2 số nguyên liên tiếp

\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Với mọi \(n \in \mathbb{Z} \Rightarrow n,\,\,n - 1,\,\,n - 2\) là 3 số nguyên liên tiếp

\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,3\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({n^3} - n\,\,\, \vdots \,\,\,6\,\,\,\forall n \in \mathbb{Z}.\)

c) Chứng minh \({\left( {5n + 2} \right)^2} - 4\) chia hết cho \(5\) với mọi \(n \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \({\left( {5n + 2} \right)^2} - 4 = \left( {5n + 2 - 2} \right)\left( {5n + 2 + 2} \right) = 5n\left( {5n + 4} \right)\)

Vì \(5{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow 5n\left( {5n + 4} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,5\,\,\,\forall n \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow \) \({\left( {5n + 2} \right)^2} - 4\) chia hết cho \(5\) với mọi \(n \in \mathbb{Z}.\)

d) Chứng minh \({55^{n + 1}} - {55^n}\) chia hết cho \(54\) với \(n\) là số tự nhiên.

Ta có: \({55^{n + 1}} - {55^n} = {55^n}.55 - {55^n} = {55^n}\left( {55 - 1} \right) = {54.55^n}\)

Vì \(54\,\, \vdots \,\,54 \Rightarrow {54.55^n}\,\, \vdots \,\,54.\)

Vậy \({55^{n + 1}} - {55^n}\) chia hết cho \(54\) với \(n\) là số tự nhiên.