cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) đường kính AB hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E , H là hình chiếu vuông góc của E trên AB a) Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp b) tia CH cắt (O) tại điểm thứ 2 là K.Gọi I là giao điểm của DK và AB . chứng minh DI^2=AI.BI c) khi tam giác DAB không can , gọi M lf trung điểm của EB , tia DC cắt HM tại N . ti NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ 2 là F. chứng minh F thuộc đường tròn (O)

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AD\perp BD$

$\to \widehat{EHA}=\widehat{EDA}(=90^o)$

$\to ADEH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AE$

b.Tương tự câu a chứng minh được $BHEC$ nội tiếp

$\to \widehat{HEB}=\widehat{HCB}=\widehat{KCB}=\widehat{KDB}$

$\to EH//DK$

Mà $EH\perp AB\to DK\perp AB\to AI\perp AB$

Lại có $\Delta ADB$ vuông tại $D$

$\to DI^2=IA.IB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c.Ta cso $MBFH$ nội tiếp

$\to \widehat{NMB}=\widehat{NFH},\widehat{NBM}=\widehat{NHF}$

$\to \Delta NBM\sim\Delta NHF(g.g)$

$\to \dfrac{NB}{NH}=\dfrac{NM}{NF}$

$\to NB.NF=NH.NM$

Ta có $\Delta EHB$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $BE\to ME=MH=MB$

$\to \Delta MBH$ cân tại $M$

$\to \widehat{MHB}=\widehat{MBH}=\widehat{DBO}=\widehat{ODB}$

$\to MHOD$ nội tiếp

Vì $OA\perp DK\to A$ nằm giữa $D,K$

$\to \widehat{DOA}=2\widehat{DCA}=\widehat{DCK}=\widehat{DCH}$

$\to DOHC$ nội tiếp

$\to M,H,O,D, C$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{NMC}=\widehat{NDH},\widehat{NCM}=\widehat{NHD}$

$\to\Delta NCM\sim\Delta NHD(g.g)$

$\to\dfrac{NC}{NH}=\dfrac{NM}{ND}$

$\to NM.NH=NC.ND$

$\to NC.ND=NB.NF$

$\to \dfrac{NC}{NF}=\dfrac{NB}{ND}$

Lại có $\widehat{CNB}=\widehat{DNF}$

$\to \Delta NCB\sim\Delta NFD(c.g.c)$

$\to \widehat{NCB}=\widehat{NFD}$

$\to DCBF$ nội tiếp

$\to F\in (BCD)\to F\in (O)$