(2×(sin^6 x +cos^6 x)- sinxcosx) / (căn 2 -2sin x) =0 Giải phương trình trên

Đáp án: Vô nghiệm

Giải thích các bước giải:

Điều kiện $\sin x\ne\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\ne\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\x\ne\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\end{array} \right.(k\in\mathbb Z)$

Ta có: ${\sin}^6x+{\cos }^6x=\left({{\sin}^2x}\right)^3+\left({{\cos}^2x}\right)^3$

$=\left({{\sin}^2x+{\cos}^2x}\right)\left[{\left({{\sin}^2x}\right)^2-{\sin}^2x{\cos}^2x+\left({{\cos}^2x}\right)^2}\right]$

$=\left({{\sin}^2x+{\cos}^2x}\right)^2-3{\sin}^2x{\cos}^2x$

$=1-3{\sin}^2x{\cos}^2x$

Thay vào phương trình ta được:

$\dfrac{2(1-3{\sin}^2x{\cos}^2x)-\sin x\cos x}{\sqrt2-2\sin x}=0$

$\Rightarrow 2(1-3{\sin}^2x{\cos}^2x)-\sin x\cos x=0$

Đặt $\sin x\cos x=t$

Phương trình tương đương

$-6t^2-t+2=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} t=\dfrac{1}{2}\\ t=\dfrac{-2}{3}\end{array} \right.$

Th1: $\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{\sin 2x}{2}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \sin 2x=1$

$\Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,(k\in\mathbb Z)$

$\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,(k\in\mathbb Z)$ (loại)

Th2: $\dfrac{\sin 2x}{2}=\dfrac{-2}{3}$

$\Rightarrow \sin 2x=\dfrac{-4}{3}<-1$ (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.