Cho abc thỏa mãn a+b+c=3 tìm gtln của P=ab+bc+ca

Ta chứng minh BĐT : $(x+y+z)^2 ≥ 3.(xy+yz+zx)$

Thật vây BĐT trên tương đương :

$2.(x^2+y^2+z^2 )≥ 2.(xy+yz+zx)$

$\to (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $ ( Đúng )

Áp dụng vào bài toán có :

$P = ab+bc+ca ≤ \dfrac{(a+b+c)^2}{3}  = 3$

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c=1$

Vậy Max $P = 3$ khi $a=b=c=1$