chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2

`p={a+b+c}/2; a;b;c` là độ dài ba cạnh tam giác nên $a;b;c>0$

Ta có: `S=pr`

`S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`

(công thức Hê rông)

`=>pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`

`=>p^2r^2=p(p-a)(p-b)(p-c)`

`=>r^2={p(p-a)(p-b)(p-c)}/{p^2}`

`\qquad r^2={(p-a)(p-b)(p-c)}/p`

Áp dụng BĐT Cosi cho $3$ số dương

$p-a;p-b;p-c$ ta có:

`(p-a)(p-b)(p-c)\le ({p-a+p-b+p-c}/3)^3=[{3p-(a+b+c)}/3]^3=({3p-2p}/3)^3=(p/3)^3`

`=>{(p-a)(p-b)(p-c)}/p\le {(p/3)^3}/p={p^2}/{27}`

`=>36r^2\le {36p^2}/{27}={4p^2}/3={(2p)^2}/3`

`=>36r^2\le {(a+b+c)^2}/3`

Ta có:

`(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`

Áp dụng $BĐT$ Cosi cho các số dương $a;b;c$ ta có:

`2ab\le a^2+b^2`

`2bc\le b^2+c^2`

`2ac\le a^2+c^2`

`=>(a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)`

`=>{(a+b+c)^2}/3\le a^2+b^2+c^2`

$\\$

`=>36r^2\le a^2+b^2+c^2`

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $∆ABC$ đều

Vậy $∆ABC$ đều khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2=36r^2$