Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại A, (R > R'). Qua điểm B bất kỳ trên (O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) tại hai điểm M và N, AB cắt (O) tại C. Chứng minh rằng: a) MN ⊥ OC b) AC là tia phân giác của ∠MAN

`a)` Ta có: $A;B\in (O';R')$

`=>O'A=O'B=R'`

`=>∆O'AB` cân tại $O'$

`=>\hat{O'BA}=\hat{O'AB}` $(1)$

Ta có: $A;C\in (O;R)$

`=>OA=OC=R`

`=>∆OAC` cân tại $O$

`=>\hat{OCA}=\hat{OAC}=\hat{O'AB}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{O'BA}=\hat{OCA}`

Mà `\hat{O'BA}` và `\hat{OCA}`ở vị trí đồng vị 

`=>O'B`//$OC$ $(3)$

Ta lại có $MN$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O')$

`=>O'B`$\perp MN$ $(4)$

Từ `(3);(4)=>MN`$\perp OC$ (đpcm)

$\\$

`b)` Xét $(O;R)$ có:

`\OM=ON=R`

`=>∆OMN` cân tại $O$

Mà `MN`$\perp OC$ (câu a)

`=>MN` đồng thời là đường phân giác của `\hat{MON}`

`=>\hat{MOC}=\hat{NOC}`

`=>\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{CN}` (hai góc ở tâm bằng nhau chắn cung bằng nhau)

Ta lại có:

`\hat{MAC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung $CM$)

`\hat{NAC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CN}` (góc nội tiếp chắn cung $CN$)

`=>\hat{MAC}=\hat{NAC}`

Mà tia $AC$ nằm giữa hai tia $AM$ và $AN$

`=>AC` là tia phân giác của `\hat{MAN}` (đpcm)