Cho `a+b ≤1`. Cmr: `1/(a^2+b^2)+1/(ab)+4ab ≥7`

Đáp án +Giải thích các bước giải:

$ĐK : a > 0 ; b > 0 ; a + b \leq 1 $

$\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{ab} + 4ab$

$= \frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+\frac{1}{4ab} + 4ab$

$= (\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab})+(4ab + \frac{1}{4ab})+\frac{1}{4ab}$

$Áp$ $dụng$ $BĐT$ $Cauchy$ $với$ $2$ $số$ $dương$ $ta$ $có:$

$\frac{1}{a² + b²}+ \frac{1}{2ab} \geq 2\sqrt{\frac{1}{(a² + b²)2ab}}$

$→ \frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab} \geq 2.\frac{2}{a² + b² + 2ab} = \frac{4}{(a + b)²} $

$→\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab} \geq 4$

$4ab + \frac{1}{4ab} \geq 2.\sqrt{4ab.\frac{1}{4ab}} = 2$

$4ab \leq (a + b)² → 4ab \leq 1 → \frac{1}{4ab} \geq 1$

$Cộng$ $theo$ $vế$ $của$ $các$ $BĐT$ $trên$ $ta$ $được:$

$(\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab})+(4ab + \frac{1}{4ab})+\frac{1}{4ab} \geq 4 + 2 + 1$

$hay$ $\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{ab} + 4ab \geq 7$

$Dấu$ $"="$ $xảy$ $ra$ $→a = b = \frac{1}{2}$