Cho `ΔABC` có góc `A < 90^o`. Vẽ ra phía ngoài `ΔABC` `2` ` ΔABD ` và `ΔACE` vuông cân tại `A`. `a)` Gọi `M` là trung điểm của `DE`. CM: `AM` vuông góc với `BC`. `b)` Gọi `N` là trung điểm của `BC`. CM: `AN` vuông góc với `DE`.

a) Đây là cách lớp 8. cách lớp 7 xem hình 2,3

 

Vẽ hình bình hành $ADFE$

$M$ là trung điểm $DE$$\to $$M$ cũng là trung điểm $FA$

$\to A,M,F$ thẳng hàng

 

Kéo dài $FA$ cắt $BC$ tại $H$

 

$\widehat{BAC}+\widehat{BAD}+\widehat{DAE}+\widehat{EAC}=360{}^\circ $

$\to \widehat{BAC}+\widehat{DAE}=360{}^\circ -\widehat{BAD}-\widehat{EAC}$

$\to \widehat{BAC}+\widehat{DAE}=180{}^\circ $

Mặt khác

$\widehat{ADF}+\widehat{DAE}=180{}^\circ $ ( Vì $ADFE$ là hình bình hành )

 

Nên $\widehat{BAC}=\widehat{ADF}$

 

$ADFE$ là hình bình hành

$\to DF=AE$

$\to DF=AC$

 

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta BAC$, ta có

$\begin{cases}AD=AB\\DF=AC\\\widehat{BAC}=\widehat{ADF}\end{cases}$

 

$\to \Delta ADF=\Delta ABC$

$\to \widehat{DAF}=\widehat{ABC}$

 

Mà $\widehat{DAF}+\widehat{BAH}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{ABC}+\widehat{BAH}=90{}^\circ $

Do đó $\Delta ABH$ vuông tại $H$

$\to AH\bot BC$

Hay nói cách khác $AM\bot BC$

 

b)

Câu b chứng minh hoàn toàn tương tự

 

Vẽ hình bình hành $ABPC$, kéo dài $PA$ cắt $DE$ tại $K$

Sẽ chứng minh hoàn toàn tương tự

$\Delta ADE=\Delta CPA$

Từ đó suy ra được $AK\bot DE$

Hay $AN\bot DE$