Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M ( M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (), MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp và AM2 = MK.MB b) c) N là trung điểm của CH.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AK\perp KB$
Mà $CH\perp AB$
$\to \widehat{NHA}=\widehat{NKA}=90^o$
$\to AHNK$ nội tiếp đường tròn đường kính $AN$
Ta có $MA$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA\perp AO\to MA\perp AB$
Mà $AK\perp KB\to AK\perp MB$
$\to MA^2=MK.MB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
b.Gọi $MO\cap AC=D$
Vì $MA,MC$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to MO\perp AC$
$\to \widehat{MDA}=\widehat{MKA}=90^o$
$\to MKDA$ nội tiếp
$\to \widehat{DAK}=\widehat{KMD}$
$\to \widehat{KAC}=\widehat{OMB}$
c.Gọi $BC\cap AM=E$
Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC$
$\to MO//BC\to MO//BE$
Mà $O$ là trung điểm $AB\to MO$ là đường trung bình $\Delta ABE$
$\to M$ là trung điểm $AE$
$\to MA=ME$
Lại có $CH//AM(\perp AB)$
$\to \dfrac{NH}{MA}=\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{CN}{ME}$
$\to NH=NC\to N$ là trung điểm $CH$