Cho tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng với A qua B, E là điểm đối xứng với B qua C và F là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng: ΔABC, ΔDEF có cùng trọng tâm (giúp với ạ)

Gọi:

$M$ là trung điểm $BC$

$N$ là trung điểm $EF$

$G$ là giao điểm $BC$ và $EF$

$P$ là trung điểm $AG$

$Q$ là trung điểm $DG$

 

 

Mình gợi ý cách làm như sau:

 

$AN$ là đường trung bình $\Delta FCE$

$\to AN=\frac{1}{2}CE$   và   $AN\,\,||\,\,CE$

$\to AN=\frac{1}{2}BC$   và   $AN\,\,||\,\,BC$

$\to AN=BM$     và   $AN\,\,||\,\,BM$

$\to ANMB$ là hình bình hành

$\to MN=AB$   và   $MN\,\,||\,\,AB$

 

Mặt khác:

$PQ$ là đường trung bình $\Delta AGD$

$\to PQ=\frac{1}{2}AB$   và   $PQ//AD$

$\to PQ=AB$      và   $PQ\,\,||\,\,AB$

 

 

Vậy $MN=PQ$   và   $MN\,\,||\,\,PQ$

$\to MNPQ$ là hình bình hành

Mà $G$ là giao điểm hai đường chéo $PM$  và   $QN$

Nên $G$ là trung điểm $PM$ và $G$ là trung điểm $QN$

$\to PG=GM$   và   $QG=GN$

 

Mặt khác:

$P$ là trung điểm $AG$  và  $Q$ là trung điểm $DG$

$\to AP=PG$   và   $DQ=QG$

 

Vậy $AP=PG=GM$   và   $DQ=QG=DN$

$\to AG=\frac{2}{3}AM$   và   $DG=\frac{2}{3}DN$

$\Delta ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến

Mà $AG=\frac{2}{3}AM$

Nên $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

 

$\Delta DEF$ có $DN$ là đường trung tuyến

Mà $DG=\frac{2}{3}DN$

Nên $G$ là trọng tâm $\Delta DEF$

 

Vậy $\Delta ABC$  và  $\Delta DEF$ có cùng trọng tâm $G$