Cm abc $\leq$ (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) với a b c là độ dài 3 cạnh tam giác

$\\$

Để đơn giản ta đặt :

`b+c-a=x, a+c-b=y, a+b-c = z`

`=>x+y=2c, y+z=2a, x+z=2b`

Do `a,b,c` là độ dài 3 cạnh của `\triangle` nên `x,y,z>0`

Ta sẽ chứng minh : `(x+y)(y+z)(x+z)>= 8xyz (x,y,z>0)`

Áp dụng BĐT Cô-si ta được :

`x+y>= 2\sqrt{xy}`

`y+z>= 2\sqrt{yz}`

`x+z>= 2\sqrt{xz}`

`=> (x+y)(y+z)(x+z)>= 8xyz`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`x=y,y=z,x=z`

`<=>x=y=z`

Vận dụng `(x+y)(y+z)(x+z)>= 8xyz(x,y,z>0)` (chứng minh trên)

`=> 2a.2b.2c >= 8 (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)`

`=> 8abc >=8 (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)`

`=> abc >= (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)`

Dấu "`=`" xảy ra khi 
`a=b=c`