Trong toạ độ oxy cho ba điểm A(1;0);B(0;3)và C(-3;-5) tìm M thuộc trục hoành sao cho biểu thức P=2MA-3MB+2MC . Đạt giá trị nhỏ nhất

Giải thích các bước giải:

 Gọi $I(a;b)$ là điểm trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  - 3\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} \left( {1 - a; - b} \right);\overrightarrow {IB} \left( { - a;3 - b} \right);\overrightarrow {IC} \left( { - 3 - a; - 5 - b} \right)\\
2\overrightarrow {IA}  - 3\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2.\left( {1 - a} \right) - 3.\left( { - a} \right) + 2.\left( { - 3 - a} \right) = 0\\
2.\left( { - b} \right) - 3.\left( {3 - b} \right) + 2\left( { - 5 - b} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 4\\
b =  - 19
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4; - 19} \right)
\end{array}\)

Suy ra 

\(\begin{array}{l}
P = \left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|\\
 = \left| {2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - 3\overrightarrow {MI}  - 3\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IC} } \right|\\
 = \left| {\overrightarrow {MI}  + \left( {2\overrightarrow {IA}  - 3\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\
 = MI
\end{array}\)

$P$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất

Mà $M$ nằm trên trục hoành nên $M$ là hình chiếu của $I$ trên trục hoành. Suy ra \(M\left( { - 4;0} \right)\)