Trong mp tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;4),B(3;5). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Đáp án: $y=-2x+6$

Giải thích các bước giải:

Gọi $h$ là khoảng cách từ $B$ đến $d$

Với mọi vị trí của $d$ ta luôn có:

$h≤AB=\sqrt{(3-1)^2+(5-4)^2}=\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra $⇔d⊥AB$ tại $A$

Gọi phương trình đường thẳng $AB$ là $y=ax+b$ và phương trình đường thẳng $d$ là $y=a'x+b'$

Ta có:

$\large \left \{ {{A∈AB} \atop {B∈AB}} \right.⇔\large \left \{ {{4=a.1+b} \atop {5=a.3+b}} \right.$ 

$⇔\large \left \{ {{a+b=4} \atop {3a+b=5}} \right.⇔\large \left \{ {{a=0,5} \atop {b=3,5}} \right.$ 

$⇒(AB)y=0,5x+3,5$

Ta có: $d⊥AB⇔0,5.a'=-1⇔a'=-2$

Lại có: $A∈d⇔4=-2.1+b'⇔b'=6$

$⇒(d)y=-2x+6$