Tìm số nguyên tố p sao cho p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố

* Đáp án : p = 5

* Giải thích các bước giải :          

Trường hợp 1 :  p chẵn 

Vì p là số nguyên tố chẵn nên nó chỉ có thể là 2, nhưng 2 không thể là tổng 2 số nguyên tố vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất . 

⇒ p không tồn tại

Trường hợp 2 :  p lẻ

Giả sử p = m + n ( m,n là số nguyên tố ). Mà p lẻ ⇒  trong m và n có 1 lẻ, 1 chẵn

Nếu m là số lẻ, n là số chẵn ⇒  n = 2 ⇒ p = m+2 ⇒ m = p-2 (1)

Tương tự, p = q - r ( q,r là số nguyên tố ).Vì p là số lẻ ⇒  trong q và r có 1 lẻ, 1 chẵn

Xét : q chẵn ⇒  q = 2 ⇒  p = 2 - r < 0 ( loại ) 

⇒  q là số lẻ , r là số chẵn ⇒  r = 2 ⇒  p = q - 2 ⇒  q = p+2 (2)

Từ (1) , (2) ; ta thấy  p - 2 ; p ; p + 2 là 3 số nguyên tố lẻ (3) 

+ Nếu p < 5 ⇒ p - 2 < 3 ⇒  p - 2 không thể là số nguyên tố lẻ

+ Nếu p = 5 ⇒ (3) thỏa mãn ⇒  p = 5 .

+ Nếu p > 5 ⇒ p - 2 ; p ; p + 2 đều lớn hơn 3

+ Nếu p - 2 : 3 dư 1 thì p chia hết cho 3 ⇒  p không phải số nguyên tố ( loại ) 

+ Nếu p-2 chia 3 dư 2 thì p+2 chia hết cho 3 ---> p+2 ko phải số nguyên tố ( loại ) 

⇒ p chỉ có thể là : 5

Vậy p = 5.