Cho tam giác ABC có M(-1;1) là trung điểm một cạnh. Cạnh AB:x+y-2=0, AC:2x+6y+3=0, tìm toạ độ các đỉnh và phương trình các cạnh

Đáp án:

$A \left(\dfrac{15}{4} ;-\dfrac{7}{4}\right);B\left(\dfrac{1}{4} ;\dfrac{7}{4}\right); C\left(-\dfrac{9}{4}; \dfrac{1}{4} \right); BC: 3 x - 5 y + 8=0.$

Giải thích các bước giải:

$A$ là giao của $AB$ và $AC$, có toạ độ là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} x+y-2=0\\ 2x+6y+3=0\end{array} \right. \Leftrightarrow  \left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{15}{4} \\ y=-\dfrac{7}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow A \left(\dfrac{15}{4} ;-\dfrac{7}{4}\right)\\ B \in AB:x+y-2=0 \Rightarrow B(b;-b+2)\\ C \in AC: 2x+6y+3=0 \Rightarrow C\left(c;-\dfrac{c}{3}-\dfrac{1}{2} \right)$

Thay toạ độ điểm $M$, ta thấy $M \notin AB; AC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} b+c=2.(-1)\\ -b+2-\dfrac{c}{3}-\dfrac{1}{2}=2.1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b+c=-2\\ -b+2-\dfrac{c}{3}-\dfrac{1}{2}=2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b=\dfrac{1}{4} \\ c=-\dfrac{9}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow B\left(\dfrac{1}{4} ;\dfrac{7}{4}\right); C\left(-\dfrac{9}{4}; \dfrac{1}{4} \right)\\ \overrightarrow{BC}=\left(-\dfrac{5}{2} ;-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}(5;3)\\ \Rightarrow \vec{u}_{BC}=(5;3)\\ \Rightarrow \vec{n}_{BC}=(3;-5)$

Phương trình đường thẳng $BC$ có VTPT $\vec{n}_{BC}=(3;-5)$, đi qua $B\left(\dfrac{1}{4} ;\dfrac{7}{4}\right):$

$3\left(x-\dfrac{1}{4}\right)-5\left(y-\dfrac{7}{4}\right)=0$

$\Leftrightarrow 3 x - 5 y + 8=0.$