Cho (O) và 1 điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C và O). Đường thẳng AI cắt (O) tại 2 điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm đoạn thẳng DE. a) CMR: ABOH b) CMR: AB.BE=AE.BD c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO, d cắt BC tại điểm K. CMR: HK song song DC. d)tia CD cắt AO tại P, tia EO cắt BP tại F. chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $H$ là trung điểm $DE\to OH\perp DE$

            $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{AHO}=90^o$

$\to ABOH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{BAE}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BD}{EB}$

$\to AB.BE=AE.BD$

c.Ta có $KE//AO, AHOB$ nội tiếp

$\to\widehat{KEH}=\widehat{HAO}=\widehat{HBO}=\widehat{HBK}$

$\to BHKE$ nội tiếp

$\to\widehat{KHE}=\widehat{KBE}=\widehat{CBE}=\widehat{CDE}$

$\to HK//CD$

d.Ta có: $\widehat{POC}=\widehat{BKE}=\widehat{BHE}$ vì $EK//AO, BHKE$ nội tiếp

             $\widehat{BEH}=\widehat{OCP}$ (góc nội tiếp chắn cung $BD$)

$\to\Delta POC\sim\Delta BHE(g.g)$

$\to \dfrac{PC}{BE}=\dfrac{OC}{HE}=\dfrac{BC}{DE}$ vì $O,H$ là trung điểm $BC, DE$

Lại có $\widehat{BED}=\widehat{BCD}=\widehat{BCP}$

$\to\Delta BED\sim\Delta BCP(c.g.c)$

$\to \widehat{BDE}=\widehat{BPC}$

Mà $\widehat{EBC}=\widehat{EDC}$

$\to\widehat{EBP}=\widehat{EBC}+\widehat{CBP}=\widehat{EDC}+\widehat{BDE}=\widehat{BDC}=90^o$

$\to PB\perp BE$

Lại có $BC$ là đường kính của $(O)\to BE\perp CE$

$\to BP//CE$

$\to \dfrac{OF}{OE}=\dfrac{OB}{OC}=1$

$\to OF=OE$

$\to F\in (O)$

$\to EF\cap BC=O$ là trung điểm mỗi đường và $EF=BC=2R$

$\to BECF$ là hình chữ nhật