`1)` tìm cặp số nguyên` (x; y)` thoã mãn phương trình `(x^2+1)(x^2 +y^2)= 4x^2y` `2)` tìm x nguyên dương để `4x^3 +14x^2 +9x -6` là số chính phương `3)` tìm số nguyên dương n lớn nhất để `A = 4^27 + 4^2016 +4^n ` là số chính phương `4)` tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $n^ 2+2n + \sqrt[]{n^2+2n+18} +9 $ là số chính phương

`1,`

Ta có: `(x-1)^2>=0` với `∀x`

`<=> x^2-2xy+1>=0`

`<=> x^2+1>=2x` (1)

Và `(x-y)^2>=0` với `∀x;y`

`<=> x^2-2xy+y^2>=0`

`<=> x^2+y^2>=2xy` (2)

Từ (1)(2) `=> (x^2+1).(x^2+y^2)>=2x.2xy=4x^2 y`

Dấu = xảy ra khi \begin{cases} x-1=0\\x-y= 0\end{cases}

`<=> x=y=1`

`2,`

Ta có: `4x^3+14x^2+9x-6`

`=4x^3+8x^2+6x^2+12x-3x-6`

`=4x^2(x+2)+6x(x+2)-3(x+2)`

`=(x+2)(4x^2+6x-3)`

Để `4x^3+14x^2+9x-6` là số chính phương

thì `x+2=4x^2+6x-3` hoặc `x+2` và `4x^2+6x-3` đồng thời là 2 số chính phương

TH1: `x+2=4x^2+6x-3`

`<=> 4x^2+6x-3-x-2=0`

`<=> 4x^2+5x-5=0`

`<=> 4(x+5/8)^2=105/16`

`<=> (x+5/8)^2=105/64`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{-5+\sqrt{105}}{8} (l)\\x=\dfrac{-5-\sqrt{105}}{8}(l)\end{array} \right.\) 

TH2: `x+2` và `4x^2+6x-3` đồng thời là 2 số chính phương

Đặt `x+2=a^2`; `4x^2+6x-3=b^2`

`=> x=a^2-2` 

Thay `x=a^2-2` vào `4x^2+6x-3=b^2` ta có:

`4(a^2-2)^2+6(a^2-2)-3=b^2`

`<=> 4(a^4-4a^2+4)+6a^2-12-3=b^2`

`<=> 4a^4-16a^2+16+6a^2-15=b^2`

`<=> 4a^4-10a^2+1=b^2`

`<=> 4(4a^4-10a^2+1)=4b^2`

`<=> 16a^4-40a^2+4-4b^2=0`

`<=> (16a^4+8a^2 b-20a^2) -(8a^2 b+4b^2-10b)-(20a^2+10a-25)=21`

`<=> 4a^2(4a^2+2b-5)-2b(4a^2+2b-5)-5(4a^2+2b-5)=21`

`<=> (4a^2+2b-5)(4a^2-2b-5)=21`

Rồi sau là lập bảng xét ước (lười quá nên tự làm nha:p)

`=> a^2=16; b^2=25`

`=> x=2` (TM)

Vậy `x=2`