cho hệ PT mx+y=2m x+my=m+1 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ PT có nghiệm duy nhất x,y là các số nguyên

Đáp án + giải thích các bước giải:

$ \left\{\begin{matrix} mx+y=2m(1)\\x+my=m+1(2) \end{matrix}\right.$

Từ `(2)->x=m+1-my(3)`

Thế `(3)` vào `(1)`, có:

`m(m+1-my)+y=2m`

`->m^2+m-m^2y+y=2m`

`->y(1-m^2)=m-m^2`

`->y(1-m)(1+m)=m(1-m) (4)`

Với `m=1`, phương trình `(4)` có dạng 

`0y=0`

`->`Phương trình có vô số nghiệm

`->`Hệ phương trình có vô số nghiệm

Với `m=-1`, phương trình `(4)` có dạng 

`0y=-2`

`->`Phương trình vô nghiệm

`->`Hệ phương trình vô nghiệm

Với `m\ne±1`, phương trình có nghiệm duy nhất

`y=(m(1-m))/((1-m)(1+m))=m/(1+m)`

`->`Hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất

$ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{m}{1+m}\\x=m+1-m. \dfrac{m}{1+m}=\dfrac{m^2+2m+1-m^2}{1+m}=\dfrac{2m+1}{1+m} \end{matrix}\right.$

Để hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất là các số nguyên thì 

$ \left\{\begin{matrix} \dfrac{m}{1+m}∈Z\\\dfrac{2m+1}{1+m}∈Z \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{m+1-1}{1+m}∈Z\\\dfrac{2m+2-1}{1+m}∈Z \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{-1}{1+m}∈Z\\\dfrac{-1}{1+m}∈Z \end{matrix}\right.\\ \rightarrow -1\vdots1+m$

`->1+m∈Ư(1)={±1}`

`->m∈{0;-2}(TM)`