Chứng minh (a3+11a-6a2-6) chia hết cho 6 và a thuộc N

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
{a^3} + 11a - 6{a^2} - 6\\
 = \left( {{a^3} - {a^2}} \right) - \left( {5{a^2} - 5a} \right) + 6a - 6\\
 = {a^2}\left( {a - 1} \right) - 5a\left( {a - 1} \right) + 6\left( {a - 1} \right)\\
 = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} - 5a + 6} \right)\\
 = \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {{a^2} - 2a} \right) - \left( {3a - 6} \right)} \right]\\
 = \left( {a - 1} \right)\left[ {a\left( {a - 2} \right) - 3\left( {a - 2} \right)} \right]\\
 = \left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)\left( {a - 3} \right)
\end{array}\)

Ta thấy a-3; a-2; a-1 ;à 3 số tự nhiên liên tiếp mà trong 3 số tự nhiên liên liếp luôn có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2

Do đó (a-1)(a-2)(a-3) chia hết cho cả 2 và 3

Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên (a-1)(a-2)(a-3) chia hết cho 6

Vậy \({a^3} + 11a - 6{a^2} - 6\) chia hết cho 6