Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông góc BD. Trung điểm của DH là I. Nối AI. Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K. Chứng minh K là trung điểm cạnh BC.

Gọi $M$ là trung điểm $AH$

Xét $ΔADH$ có:

$AM = MH = \dfrac12AH\quad$ (cách dựng)

$DI = IH = \dfrac12AH\quad (gt)$

$\to IM$ là đường trung bình

$\to IM//AD;\, IM=\dfrac12AD$

mà $AD\perp AB$

nên $IM\perp AB$

Xét $ΔABI$ có:

$IM\perp AB\quad (cmt)$

$AH\perp BI\quad (AH\perp BD)$

$IM\cap AH = \{M\}$

$\to M$ là trực tâm của $ΔABI$

$\to BM\perp AI$

Ta lại có: $IK\perp AI\quad (gt)$

$\to BM//IK$

Mặt khác:

$IM//BK\quad (ID//AD//BC;\, K\in BC)$

Do đó $BMIK$ là hình bình hành

$\to BK = IM = \dfrac12AD$

mà $AD = BC$

nên $BK = \dfrac12BC$

$\to K$ là trung điểm $BC$