Cho đường tròn tâm O, bán kính R, kẻ đường kính AB và dây cung AM có độ dài bằng R. Tia OM cắt tiếp tuyến Ax (A là tiếp điểm) của đường tròn (O) tại P. Tiếp tuyến PN của (O) (N là tiếp điểm, N khác A) cắt đường thẳng AB ở Q. a) Chứng minh OP là đường trung trực của AN b) Chứng minh AM song song với ON và tính AP theo R. c) Chứng minh tam giác APN đều và tính diện tích tam giác APQ theo R. d) AM cắt PQ tại H. Chứng minh rằng AP và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (M;MH)

a) Xét $\Delta$ vuông $PAO$ và $\Delta$ vuông $PNO$ ta có:

$PO$ chung

$OA=ON=R$

$⇒ ΔPAO=ΔPNO$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$⇒ \left \{ {{PA=PO} \atop {\widehat{APO}=\widehat{NPO}}} \right.$ 

$⇒\left \{ {{ΔAPN \text{ cân tại } P} \atop {PO \text{ là phân giác }}} \right.$ 

⇒ PO là trung trực của AN

b) Dễ thấy AMO là tam giác đều $⇒\widehat{AMO} = 60^o$ 

$ΔPAO=ΔNPO ⇒\widehat{AOM}=\widehat{NOM}=60^o$

$⇒\widehat{AMO}=\widehat{NOM}=60^o⇒AM//ON$ (2 góc so le trong bằng nhau)

$AP = AO.\tan60^o=R\sqrt3$ 

c) ΔAPN cân tại P

$\widehat{APO}=\widehat{NPO}=30^o ⇒\widehat{APN}=60^o$

⇒ ΔAPN đều

Ta  có $\widehat{NOQ}=60^o ⇒ OQ=\dfrac{ON}{\cos60^o}=2ON=2R $

$⇒AQ=3R$

Vậy $S_{\Delta APQ}= \dfrac{AP.AQ}{2}=\dfrac{R^2 3\sqrt3}{2}$ 

d) Ta có M là giao của các đường cao của tam giác đều APN

$⇒ M$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔAPN$

$⇒AP,AN$ là 2 tiếp tuyến của $(M;MH)$.