Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình a) 5x-11y=4 b) 7x+5y=143

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) $5x - 11y = 4$

$ ⇔ 5x = 11y + 4 = 5(2y + 1) + y - 1$

$ ⇔ x = 2y + 1 + \dfrac{y - 1}{5}$ 

$ x, y ∈ Z ⇔  \dfrac{y - 1}{5} = k ∈ Z$

$ ⇔ y - 1 = 5k ⇔ y = 5k + 1 $

$ ⇒ x = 2.(5k + 1) + 1 + k = 11k + 3$

Vậy PT có họ nghiệm nguyên $:(x; y) = (11k + 3; 5k + 1) (k ∈ Z)$

b) $7x + 5y = 143$

$ ⇔ 7x = 143 - 5y = 7(20 - y) + 2y + 3$

$ ⇔ x = 20 - y + \dfrac{2y + 3}{7}$ 

$ x, y ∈ Z ⇔ \dfrac{2y + 3}{7} = k ∈ Z$ 

$ ⇔ 7k = 2y + 3 $ lẻ $ ⇒ k $ lẻ $ ⇒ k = 2m + 1 (m ∈ Z)$

$ ⇔ 2y + 3 = 7k = 7(2m + 1) = 14m + 7$

$ ⇔ 2y = 14m + 4 ⇔ y = 7m + 2$

$ ⇒ x = 20 - y + k = 20 - (7m + 2) + (2m + 1) = 19 - 5m$

Vậy PT có họ nghiệm nguyên $:(x; y) = (19 - 5m; 7m + 2) (m ∈ Z)$