cho a,b,c đôi 1 khác nhau biết a^3+1=3a,b^3+1=3b,c^3+1=3c tính giá trị của biểu thức Q=a^2+b^2+c^2

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: Tham khảo:

$a, b, c$ đôi một khác nhau$ ⇔ a -b; b - c, c - a \neq0$

$a³ + 1 = 3a (1); b³ + 1 = 3b (2); c³ + 1 = 3c (3)$

$(1) - (2) : a³ - b³ = 3(a - b) $

$ ⇔ (a - b)(a² + ab + b²) = 3(a - b)$

$ ⇔ a² + ab + b² = 3 (4)$( vì $a - b\neq0$)

Tương tự $:(2) - (3); (3) - (1)$ có:

$ b² + bc + c² = 3 (5)$

$ c² + ca + a² = 3 (6)$

$(4) + (5) + (6) : 2(a² + b² + c²) + ab + bc + ca = 9$

$ ⇔ 4(a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca) = 18 (*)$

Mặt  khác $ :(4) - (5) : a² - c² + ab - bc = 0$

$ ⇔ (a - c)(a + c) + b(a - c) = 0$

$ ⇔ (a - c)(a + b + c) = 0$

$ ⇔ a + b + c = 0$ ( vì $a - c\neq0$)

$ ⇔ (a + b + c)² = 0$

$ ⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 (**)$

$(*) - (**): 3(a² + b² + c²) = 18 $

$ ⇔ Q = a² + b² + c² = 6$