Cho (O,R)và 1 đừòng thẳng d không cắt (O).Trên đường thẳng d lấy 1 điểm Abất kì từ A vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm) a,Chứng minh 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1đường tròn b, chứng minh OA thuộc BC c,gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng d.M,N lần lượt là giao điểm của BC với OAvà OH.Chứng minh rằng khi A di chuyển trên đường thẳng d thì dây BC luôn đi qua 1 điểm cố định.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB, AC\perp CO$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to A,B,O,C\in$ đường tròn đường kính $AO$

b.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO$ là trung trực của $BC\to AO\perp BC$

c.Ta có $AO\perp BC, OH\perp (d)\to \widehat{OMN}=\widehat{OHA}=90^o$

Mà $\widehat{MON}=\widehat{AOH}$

$\to\Delta OMN\sim\Delta OHA(g.g)$

$\to \dfrac{OM}{OH}=\dfrac{ON}{OA}$

$\to OM.OA=ON.OH$

Lại có $\Delta AOB$ vuông tại $B, BM\perp AO\to OM.OA=OB^2=R^2$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to ON.OH=R^2$

$\to ON=\dfrac{R^2}{OH}$ không đổi

$\to N$ cố định
$\to BC$ đi qua $N$ cố định