Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì ( E khác A và C). Kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. a) chứng minh: Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn b) chứngminh: KH // ED c)chứng minh: Tam giác ACF là tam giác cân d)Tìm vị trí của E để diện tích tam giác ADF lớn nhất

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{AKC}=\widehat{CHA}=90^o$

$\to AHCK$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

b.Ta có $AHCK$ nội tiếp

$\to \widehat{CHK}=\widehat{CAK}=\widehat{CAE}=\widehat{CDE}$

$\to HK//DE$

c.Vì $AB\perp CD\to AB$ là trung trực của $CD\to AC=AD$

$\to \widehat{ACD}=\widehat{ADC}$

Ta có $\widehat{FEK}=\widehat{AED}=\widehat{ACD}=\widehat{ADC}=\widehat{KEC}$

$\to \Delta EFC$ có đường cao $EK$ đồng thời là phân giác

$\to\Delta ECF$ cân tại $E\to EK$ là trung trực của $CF$

Mà $A\in EK\to AF=AC\to \Delta ACF$ cân tại $A$

d.Kẻ $DG\perp AF=G$

$\to S_{ADF}=\dfrac12DG\cdot AF=\dfrac12DG\cdot AC\le\dfrac12DA\cdot AC$

Dấu = xảy ra khi $DA\perp AF$

$\to \Delta ADF$ vuông cân tại $A$

$\to \widehat{ADF}=45^o\to \widehat{AOE}=2\widehat{ADE}=90^o\to E$ nằm chính giữa chugn $AB$