Sinx+cosx-2sinxcosx+1=0 Giải phương trình trên

Đáp án:

$\left\{\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}2+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. (k\in\mathbb Z)$

Giải thích các bước giải:

$\sin x+\cos x-2\sin x\cos x+1=0$ (*)

Đặt $t=\sin x+\cos x$ $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$

$\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}2$

Phương trình (*) tương đương:

$t-(t^2-1)+1=0$

$\Leftrightarrow t^2-t-2=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}t=2\text{ (loại)}\\t=-1\text{ (nhận)}\end{array}\right.$

$\Rightarrow\sin x+\cos x=-1$

$\Rightarrow\sqrt2\sin\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)=-1$

$\Leftrightarrow\sin\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)=-\dfrac1{\sqrt2}$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x+\dfrac{\pi}4=-\dfrac{\pi}4+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}4=\pi+\dfrac{\pi}4+k2\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}2+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. (k\in\mathbb Z)$

Vậy phương trình có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}2+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. (k\in\mathbb Z)$.