Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D. a) Chứng minh tam giác COD vuông tại 0; b) Chứng minh AC.BD=R^2; c) Kẻ MH vuông góc AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.

Giải thích các bước giải:

a.Vì CM, CA là tiếp tuyến của O

$\rightarrow $ OC là phân giác $\widehat{MOA}$

Tương tự ta chứng minh được OD là phân giác $\widehat{MOB}$

Do $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=\widehat{AOB}=180^o$

$\rightarrow \dfrac{1}{2}.\widehat{MOA}+\dfrac{1}{2}.\widehat{MOB}=90^o$

$\rightarrow \widehat{MOC}+\widehat{MOD}=90^o$

$\rightarrow \widehat{COD}=90^o$

$\rightarrow \Delta COD$ vuông tại O

b.Vì CD là tiếp tuyến của (O)

$\rightarrow OM\perp CD $ Mà $ \Delta OCD, OC\perp OD$

$\rightarrow CM.DM=OM^2$

Mà $CM=CA, DM=DA$ (do $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O); DM, DA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\rightarrow AC.BD=R^2(OM=R)$

$\rightarrow đpcm$

c.Gọi $MH\cap BC=I, MB\cap AC=K$

Vì DM,DB là tiếp tuyến của (O)

$\rightarrow MB\perp OD$

$\rightarrow OC// MB(OC\perp OD)\rightarrow OC// BK$

$\rightarrow OC$ là đường trung bình $\Delta ABK, O$ là trung điểm AB

$\rightarrow C$ là trung điểm AK$\rightarrow CK = CA$

$\rightarrow \dfrac{MI}{CK}=\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{IH}{AC}$

$\rightarrow MI=IH(CK=CA)$

$\rightarrow I$ là trung điểm $MH$

$\rightarrow BC$ đi qua trung điểm của đoạn $MH$

$\rightarrow đpcm$