Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Từ điểm H nằm trên AB kẻ dây CD vuông góc với AB. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và HB. Vẽ đường tròn (I; IE) và (K; KF). a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K). b) Chứng minh rằng EF = HC. c) Chứng minh rằng CE.CA = CF.CB. d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

Giải thích các bước giải:

a.Từ hình vẽ

$\to (I), (O)$ tiếp xúc trong tại $A$

     $(K), (O)$ tiếp xúc trong tại $B$

     $(I), (K)$ tiếp xúc ngoài tại $H$

b.Ta có $HE\perp AC, HF\perp BC$

            $CA\perp CB$ vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to CEHF$ là hình chữ nhật

$\to EF=HC$ 

c.Ta có: $\Delta CHA$ vuông tại $H, HE\perp AC$

$\to CE\cdot CA=CH^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự $CF\cdot CB=CH^2$

$\to CE\cdot CA=CF\cdot CB$

d.Ta có $\Delta ABE$ vuông tại $E, I$ là trung điểm $AB$

$\to (I,IE)$ là đường tròn đường kính $AH$

$\to \widehat{IEH}=\widehat{IHA}=\widehat{AHE}=90^o-\widehat{EHC}=\widehat{ECH}=\widehat{CEF}$

$\to\widehat{FEI}=\widehat{FEH}+\widehat{HEI}=\widehat{FEH}+\widehat{CEF}=\widehat{CEH}=90^o$

$\to EF$ là tiếp tuyến của $(I)$

Tương tự chứng minh được $EF$ là tiếp tuyến của $(K)$

$\to EF$ là tiếp tuyến chung của $(I), (K)$