Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng y=mx-m+1 cắt đồ thị của hàm số y=x^3 -3x^2 +x +2 tại ba điểm A,B,C phân biệt sao cho AB=BC

Đáp án:

$m > -2$

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^3 - 3x^2 + x + 2 = mx - m + 1$

$\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + (1-m)x + m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2 -2x - m - 1) = 0$

Để hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình

$x^2 - 2x - m - 1 = 0$
phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó

$\Delta' > 0$

$\Leftrightarrow 1 - (-m-1) > 0$

$\Leftrightarrow m > -2$

Khi đó tọa độ các giao điểm là

$(1,1), (1-\sqrt{m+2}, 1-m\sqrt{m+2}), (1 + \sqrt{m+2}, 1 + m\sqrt{m+2}).$

Ta thấy tam giác ABC cân tại B. Mặt khác, hai giao điểm sau vừa nêu đối xứng vs nhau qua đường thẳng $x = 1$, do đó điểm B phải là điểm $(1,1)$.

Khi đó, ta có

$BA^2 = (-\sqrt{m+2})^2 + (m\sqrt{m+2})^2$

và

$BC^2 = (\sqrt{m+2})^2 + (m\sqrt{m+2})^2$

Ta thấy biểu thức của $AB^2$ và $BC^2$ là giống hệt nhau, do đó điều kiện $AB = BC$ là luôn đúng.

Vậy ta chỉ cần có 3 giao điểm, do đó $m > -2$.