Cho tam giác nhọn `ABC` `(AB` < `AC)` , điểm `M` là trung điểm của `BC` . Kẻ tia `Ax` // `BM` , trên tia `Ax` lấy điểm `D` sao cho `AD=BM` ( `M` và `D` khác phía đối với `AB` ) . Gọi `I` là trung điểm của `AB` . `a)` Chứng minh `ΔAID= ΔBIM` `b)` Chứng minh `ΔAIM= ΔBID` ; `AM` // `BD` `c)` Đường trung trực của `BC` cắt `AC` tại `E` , tia `BE` cắt đường thẳng `Ax` tại `F` . Chứng minh `BF=AC` `d)` Hai đường thẳng `AB` và `FC` cắt nhau ở `O` . Chứng minh ba điểm `O,E,M` thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AID,\Delta BIM$ có:
$IA=IB$ vì $I$ là trung điểm $AB$

$\widehat{IAD}=\widehat{IBM}$ vì $Ax//BM$

$AD=BM$

$\to \Delta AID=\Delta BIM(c.g.c)$

b.Từ câu a $\to ID=IM,\widehat{DIA}=\widehat{BIM}\to D,I,M$ thẳng hàng

Xét $\Delta BID,\Delta AIM$ có:

$ID=IM$

$\widehat{DIB}=\widehat{AIM}$ 

$IB=IA$

$\to\Delta BID=\Delta AIM(c.g.c)$

$\to \widehat{IAM}=\widehat{IBD}\to AM//BD$

c.Ta có $E\in$ đường trung trực của $BC\to EB=EC$

$\to\Delta EBC$ cân tại $E$

$\to \widehat{EBC}=\widehat{ECB}$

Mà $Ax//BC$

$\to \widehat{EAF}=\widehat{ECB}=\widehat{EBC}=\widehat{EFA}$

$\to\Delta EAF$ cân tại $E$

$\to EA=EF$

$\to AC=AE+EC=EF+EB=BF$

d.Xét $\Delta ABE,\Delta FCE$ có:

$EA=EF$

$\widehat{EAB}=\widehat{FEC}$ 

$EB=EC$

$\to\Delta ABE=\Delta FCE(c.g.c)$

$\to \widehat{BAE}=\widehat{EFC},\widehat{ABE}=\widehat{ECF}$

$\to\widehat{OAC}=180^o-\widehat{BAE}=180^o-\widehat{EFC}=\widehat{OFB}$

Xét $\Delta OBF,\Delta OCA$ có:

$\widehat{OFB}=\widehat{OAC}$

$BF=AC$

$\widehat{OBF}=\widehat{ABE}=\widehat{FCE}=\widehat{OCA}$

$\to\Delta OBF=\Delta OCA(g.c.g)$

$\to OB=OC$

$\to O\in$ trung trực của $BC$

Mà $EM$ là trung trực của $BC$

$\to O,E,M$ thẳng hàng