Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh M là trung điểm HK. 4. Chứng minh:

1. Ta có:
$ED,EA$ là tiếp tuyến của (O)

$\to ED\perp OD, EA\perp OA\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{OAE}=90^o$

$EDOA$ có $\widehat{ADE}+\widehat{OAE}=180^o$

$\Rightarrow EDOA$ nội tiếp đường tròn đường kính (OE)

$\to \widehat{DOA}+\widehat{DEA}=180^o$

Mà $ABCD$ là hình thang cân

$\to\widehat{DMA}=\widehat{DBA}+\widehat{CAB}=2\widehat{DBA}=\widehat{DOA}$

$\to \widehat{DMA}+\widehat{AED}=180^o\to AEDM$ nội tiếp được trong một đường tròn

2. Từ câu 1

$\to\widehat{EMA}=\widehat{EDA}=\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$

Vì $ED$ là tiếp tuyến của (O),$ABCD$ là hình thang cân

$\to EM//AB$

3. Ta có:

$EM//AB\to HK//AB\to\dfrac{HM}{AB}=\dfrac{DM}{DB}=\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{MK}{AB}$

$\to MH=MK\to M$ là trung điểm HK