Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM > R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D. a) Chứng minh MD= MA+ BD và AOMD vuông. b) Cho AM = 2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM . c) Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh OK vuông góc BM.

Giải thích các bước giải:

a) Xét `(O)` có:

`AM; MC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `M`

`=> MA=MC; OM` là phân giác của `\hat{AOC}`

`=> \hat{AOM}=\hat{COM}`

`BD; DC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `D`

`=> DB=DC; OD` là phân giác của `\hat{BOC}`

`=> \hat{BOD}=\hat{COD} `

`MA=MC; BD=DC => MA+BD=MC+DC=MD`

` \hat{AOM}=\hat{COM}; \hat{BOD}=\hat{COD}` (cmt)

`=> \hat{AOM}+\hat{BOD}=\hat{COM}+\hat{COD}`

mà `\hat{AOM}+\hat{BOD}+\hat{COM}+\hat{COD}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{COM}+\hat{COD}=\hat{MOD}=\frac{180^0}{2}=90^0`

`=> ΔOMD` vuông tại `O`

b) `AM=2R => MC=2R`

`MC` là tiếp tuyến của `(O) => OC⊥MD`

`ΔOMD` vuông tại `O` có đường cao `OC`

`=> OM^2=MC.CD` (hệ thức lượng)

`=> R^2=2R.CD => CD=R/2 => BD=R/2`

`MD=MC+CD=2R+R/2 = \frac{5R}{2}`

Chu vi tứ giác `ABDM` là: 

`AB+BD+DM+AM = 2R+ R/2 + \frac{5R}{2} + 2R = 7R`

c) Gọi `H` là giao điểm của `OK` và `BM`

Xét `ΔAMO` và `ΔBAK` có:

`\hat{MAO}=\hat{ABK}=90^0`

`\hat{AOM}=\hat{BKA}` (cùng phụ với `\hat{KAB}) `

`=>` $ΔAMO\backsimΔBAK$ (g.g)

`=> \frac{AM}{AB}=\frac{AO}{BK} `

`=> \frac{AM}{AO}=\frac{AB}{BK}`

`=> tan\hat{MBA}=tan\hat{OKB}`

`=> \hat{MBA}=\hat{OKB} hay \hat{HBA}=\hat{HKB}`

mà `\hat{HBA}+\hat{HBK}=\hat{ABK}=90^0`

`=> \hat{HKB}+\hat{HBK}=90^0`

`=> ΔHBK` vuông tại `H`

`=> OK⊥BM`