cho hàm số y= 2x^3+3x^2-1 a,khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b,viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm (C)với trục hoành c,viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y=12x-1 d, biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x^3+3x^2+2m=0

Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

Hàm số: $y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1$

+) TXĐ: $R$

+) Xét giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty $

$\to$ Hàm số không có tiệm cận ngang.

Lại có:

$y' = 6{x^2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 1
\end{array} \right.$

Ta có BBT: (H1)

$\to$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$; giá trị cực đại của hàm số là: $y\left( { - 1} \right) = 0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$; giá trị cực tiểu của hàm số là: $y\left( 0 \right) =  - 1$

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm: $(0;1)$

Ta có:

$y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.$

Vậy giao điểm của đồ thị với trục hoành là 2 điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$

+) Điểm uốn của đồ thị: 

$y = 12x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\to$ Điểm uốn của đồ thị là: $\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)$

Ta có đồ thị hàm số: $y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1$ (H2)

b) 

+) Tiếp tuyến tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$là:

$y = y'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 0 = 0\left( {x + 1} \right) + 0 = 0 \Rightarrow y = 0$

+) Tiếp tuyến tại điểm $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$ là:

$y = y'\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 0 = \dfrac{9}{2}\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{9}{4} \Rightarrow y = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{9}{4}$

Vậy tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là: $y = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{9}{4}$ hoặc $y=0$

c) 

Ta có:

Tiếp tuyến song song với $\left( d \right):y = 12x - 1$

$ \Rightarrow y' = 12 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 12 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 2
\end{array} \right.$

+) Nếu $x=1\to$ tiếp điểm có tọa độ là: $(1;4)$

$\to $ Tiếp tuyến tại điểm $(1;4)$ là: $y = 12\left( {x - 1} \right) + 4 \Leftrightarrow y = 12x - 8$

+) Nếu $x=-2\to$ tiếp điểm có tọa độ là: $\left( { - 2; - 5} \right)$

$\to$ Tiếp tuyến tại điểm $\left( { - 2; - 5} \right)$ là: $y = 12\left( {x + 2} \right) - 5 \Rightarrow y = 12x + 19$

Vậy 2 tiếp tuyến cần tìm là: $y = 12x + 19$ hoặc $ y = 12x - 8$

d) Ta có:

$2{x^3} + 3{x^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} - 1 =  - 2m - 1(1)$

Số nghiệm của phương trình (1) bằng với số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng $y =  - 2m - 1$

Dựa vào đồ thị ta có:

+) Nếu $ - 2m - 1 <  - 1 \Leftrightarrow m > 0$ hoặc $ - 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\to $Đường thẳng $(d)$ giao (C) tại 1 điểm duy nhất.

$\to$ Phương trình (1) có 1 nghiệm.

+) Nếu $ - 2m - 1 =  - 1 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $ - 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\to$ Đường thẳng $(d)$ giao (C) tại 2 điểm phân biệt

$\to$ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

+) Nếu $ - 1 <  - 2m - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} < m < 0$

$\to $Đường thẳng $(d)$ giao (C) tại 3 điểm phân biệt

$\to$ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy $m>0$ hoặc $m < \dfrac{{ - 1}}{2}$ phương trình có 1 nghiệm.

$m \in \left\{ {\dfrac{{ - 1}}{2};0} \right\}$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

$\dfrac{{ - 1}}{2} < m < 0$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.