Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn $x^{3}$ = $y^{3}$ + 2019. Giúp với ToT

`x;y\in Z`

`\qquad x^3=y^3+2019`

`<=>x^3-y^3=2019`

`<=>(x-y)^3 +3x^2 y-3xy^2=2019`

`<=>(x-y)^3+3(x-y)xy=2019 `

Ta có: 

`\quad 2019\ \vdots\ 3; 3(x-y)xy \ \vdots\ 3`

`=>(x-y)^3 \ \vdots\ 3` $⇒x-y \vdots\ 3$ (bổ đề $1$)

`=>x-y=3k\quad (k\inZ)`

`=>(x-y)^3 =(3k)^3=27k^3=9.3k^3`

`=> (x-y)^3\  \vdots\ 9`

Vì  `x-y \ \vdots\ 3 =>3(x-y)xy \  \vdots\ 9`

`=>(x-y)^3+3(x-y)xy \ \vdots\ 9`

Mà `2019` không chia hết cho $9$

`=>` Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Vậy không tồn tại $x;y\in Z$ thỏa:

`x^3=y^3+2019`

___

C/m bổ đề $1$: 

`(x-y)^3\ \vdots\ 3 =>(x-y)\ \ vdots\ 3\quad (x;y\inZ)`

 Đặt : $a=x-y$; `x;y\inZ=>a\in Z`

Giả sử $a^3$ chia hết $3$ và $a$ không chia hết 3.

+) Nếu $a$ chia $3$ dư $1$ `=>a=3k+1\quad(k\inZ)`

`=>a^3=27k^3 +27k^2+9k+1` không chia hết $3$.

`=>` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$

+) Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ `=>a=3k+2\quad(k\inZ)`

`=>a^3=27k^3 +54k^2+36k+8` không chia hết $3$.

`=> ` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$

Do đó $a$ chia hết cho $3$.

Vậy bổ đề được chứng minh.