Cho góc nhọn xOy. Trên tia đối của tia Ox lấy điểm A, trên tia đối của tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD và OB<OD, OA<OC. a) Chứng minh: AD = BC. b) Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: EAC = EBD. c) Chứng minh: AB//CD.

Đáp án:

a)

Ta có:

$AC=OA+OC$

$BD=OB+OD$

mà $AC=BD$ (gt) , $OA=OB$ (gt)

$\Rightarrow OC=OD$

Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OBC$ có

$OA=OB$ (gt)

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (đối đỉnh)

$OD=OC$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle OAD=\triangle OBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow AD=BC$ (hai cạnh tương ứng)

b)

Do $\triangle OAD=\triangle OBC$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{ODA}=\widehat{OCB}$ (hai góc tương ứng)

và $\widehat{OAD}=\widehat{OBC}$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat{OAD}+\widehat{CAE}=180^0$

$\widehat{OBC}+\widehat{DBE}=180^0$

mà $\widehat{OAD}=\widehat{OBC}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{CAE}=\widehat{DBE}$

Xét $\triangle EAC$ và $\triangle EBD$ có
$\widehat{CAE}=\widehat{DBE}$ (cmt)

$AC=BD$ (gt)

$\widehat{ACE}=\widehat{EDB}$ (do $\widehat{OCB}=\widehat{ODA}$ -cmt)

$\Rightarrow  \triangle EAC=\triangle EBD$ (g.c.g)

c)

Xét $\triangle AOB$ có $OA=OB$ (gt)

$\Rightarrow \triangle AOB$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{OAB}$

Xét $\triangle COD$ có $OC=OD$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle COD$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}$

Ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{OBA}+\widehat{OAB}=180^0$

$\widehat{COD}+ \widehat{OCD}+\widehat{ODC}=180^0$

mà $ \widehat{OBA}=\widehat{OAB}$(cmt), $ \widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{AOB}+2\widehat{OBA}=180^0$

$\widehat{COD}+ 2\widehat{ODC}=180^0$

mà $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{ODC}$

mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AB//CD$