Bài 6. (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại điểm H. a.Tính độ dài AH, CH b. Kẻ OK vuông góc với AH tại K và tia OK cắt AC tại D. Chứng minh: DH là tiếp tuyến của đường tròn (O) c. Từ trung điểm I của AK kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường tròn tại điểm M. Chứng minh: AM = AK.

Giải thích các bước giải:

 a, Ta có: BC = $\sqrt[]{AB^{2}+AC^{2}}$ = $\sqrt[]{6^{2}+8^{2}}$ = 10 (cm)

ABH là tam giác nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔABH vuông tại H

⇒ AH là đường cao của ΔABC

ABC vuông tại A có AH là đường cao ⇒ $AB^{2}$ = BH.BC

⇔ $6^{2}$ = BH. 10 ⇒ BH = 3,6 (cm) ⇒ CH = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4 (cm)

AH = $\sqrt[]{AB^{2}-BH^{2}}$ = 4,8 (cm)

b, ΔOAH cân tại O có OK là đường cao ⇒ OK cũng là đường phân giác

⇒ $\widehat{AOK}$ = $\widehat{HOK}$

ΔOAD và ΔOHD có:

OH chung; OA = OH; $\widehat{AOD}$ = $\widehat{HOD}$

⇒ ΔOAD = ΔOHD (c.g.c) ⇒ $\widehat{OAD}$ = $\widehat{OHD}$

⇒ $\widehat{OHD}$ = $90^{o}$

⇒ DH ⊥ OH ⇒ DH là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

c, Gọi N = IM ∩ AB

ΔANI đồng dạng với ΔAKO (g.g) ⇒ $\frac{AN}{AK}$ = $\frac{AI}{AO}$ 

⇒ AN = $\frac{AI.AK}{AO}$ = $\frac{1,2.2,4}{3}$ = 0,96 (cm)

ΔANM đồng dạng với ΔAMB (g.g) ⇒ $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{AN}{AM}$

⇔ $AM^{2}$ = AN. AB = 0,96.6 = 5,76

⇔ AM = 2,4 = AK (đpcm)