Cho hình thang ABCD biết góc A = 90 độ, góc D = 90 độ và AB < DC. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O a) Cho AB = 9cm và AD = 12 cm. Hãy Tính tỉ số lượng giác của các góc nhọn và cạnh BD của tam giác ADB Tính độ dài các đoạn thẳng AO, DO và AC. Kẻ BH vuông góc với DC tại H tính diện tích tam giác DOH.

Xét tam giác vuông ABD có: \(B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{225}=15\,\,\left( cm \right)\).

Ta có:

\(\sin B=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}=\cos C\)

\(\cos B=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=\sin C\)

\(\tan B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}=\cot C\)

\(\cot B=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}=\tan C\)

Xét tam giác vuông ABD, đường cao AO:

\(AO.BD=AB.AD\Rightarrow AO=\dfrac{AB.AD}{BD}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\,\,\left( cm \right)\).

\(A{{D}^{2}}=DO.BD\Rightarrow DO=\dfrac{A{{D}^{2}}}{BD}=\dfrac{{{12}^{2}}}{15}=9,6\,\,\left( cm \right)\).

Xét tam giác vuông ACD đường cao DO:

\(A{{D}^{2}}=AO.AC\Rightarrow AC=\dfrac{A{{D}^{2}}}{AC}=\dfrac{{{12}^{2}}}{7,2}=20\,\,\left( cm \right)\).

Ta có: ABHD là hình chữ nhật => BH = AD =12 cm, DH = AB = 9cm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADC:

\(A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow D{{C}^{2}}={{20}^{2}}-{{12}^{2}}=256\Rightarrow DC=16\,\,\left( cm \right)\)

Ta có: \(\dfrac{{{S}_{ODH}}}{{{S}_{ODC}}}=\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{9}{16}\).

\(OC=AC-OA=20-7,2=12,8\,\,\left( cm \right)\).

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ODC}}=\dfrac{1}{2}OD.OC=\dfrac{1}{2}.9,6.12,8=61,44\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)\).

\(\Rightarrow {{S}_{ODH}}=\dfrac{9}{16}.61,44=34,56\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)\).