Áp dụng định lí Ceva và Menelaus Cho tứ giác $ABCD$ có $M$, $N$ là giao của các cặp cạnh đối $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$. Đường thẳng $AC$ cắt $BD$, $MN$ tại $I$, $J$. Chứng minh rằng $\dfrac{JA}{JC}=\dfrac{IA}{IC}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đường thẳng MN cắt 3 cạnh của tam giác ACD lần lượt tại $M, N, J$, áp dụng định lý Menelaus:

$\dfrac{JC}{JA}·\dfrac{AN}{DN}·\dfrac{DM}{MC}=1$ (1)

Đường thẳng BN cắt 3 cạnh của tam giác AMD lần lượt tại $B, C, N$, áp dụng định lý Menelaus:

$\dfrac{BA}{BM}·\dfrac{MC}{CD}·\dfrac{DN}{NA}=1$ (2)

Đường thẳng BD cắt 3 cạnh của tam giác ACM lần lượt tại $B, I, D$, áp dụng định lý Menelaus:

$\dfrac{IA}{IC}·\dfrac{CD}{DM}·\dfrac{MB}{BA}=1$ (3)

Nhân vế với vế (1);(2) và(3):

$⇒\dfrac{JC}{JA}·\dfrac{AN}{DN}·\dfrac{DM}{MC}·\dfrac{BA}{BM}·\dfrac{MC}{CD}·\dfrac{DN}{NA}·\dfrac{IA}{IC}·\dfrac{CD}{DM}·\dfrac{MB}{BA}=1$

$⇔\dfrac{JC}{JA}·\dfrac{IA}{IC}=1$

$⇔\dfrac{JA}{JC}=\dfrac{IA}{IC}$ (đpcm)