Bài 2. ChoABCvuông tại A. M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao ? b) CMR: DE=1/2 BC c) Gọi P là trung điểm của BM; Q là trung điểm của MC. CMR: Tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM. d) Tam giác ABC vuông ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật

Đáp án:

 a) `ADME` là hình chữ nhật

d) `ΔABC` vuông cân tại `A`

Giải thích các bước giải:

a) `D, E` lần lượt là hình chiếu của `M` trên `AB, AC`

`=> MD⊥AB; ME⊥AC => \hat{MEA}=\hat{MDA}=90^0`

`ΔABC` vuông tại `A => \hat{EAD}=90^0`

Xét tứ giác `ADME` có:

`\hat{MEA}=\hat{MDA}=\hat{EAD}=90^0`

`=> ADME` là hình chữ nhật

b) `ADME` là hình chữ nhật `=> AM=DE`

`ΔABC` vuông tại `A` có:

`AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC`

`=> AM=1/2 BC`

mà `AM=DE => DE=1/2 BC`

c) `ΔDBM` vuông tại `D` có:

`DP` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BM`

`=> DP=1/2 BM`

`ΔEMC` vuông tại `E` có:

`EQ` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `MC`

`=> EQ=1/2 MC`

mà `BM=MC (M` là trung điểm của `BC) => DP=EQ`

`DE=1/2 BC = 1/2 (BM+MC) =1/2 BM + 1/2 MC = MP+MQ=PQ`

Xét tứ giác `DPQE` có:

`DP=EQ; DE=PQ`

`=> DPQE` là hình bình hành

Gọi `O` là giao điểm của `PE` và `DQ`

`=> O` là trung điểm của `PE` và `DQ`

`=> O` là tâm đối xứng của hình bình hành `DPQE`

Xét `ΔPEQ` có:

`M, O` lần lượt là trung điểm của `PQ` và `PE`

`=> MO` là đường trung bình `=>` $MO//QE$

`AB⊥AC; ME⊥AC =>` $AB//ME $

Xét `ΔABC` có: $AB//ME; M$ là trung điểm của `BC`

`=> E` là trung điểm của `AC`

Xét `ΔAMC` có: 

`Q, E` lần lượt là trung điểm của `MC` và `AC`

`=> QE` là đường trung bình

`=>` $QE//AM$

Ta có: $MO//QE; MA//QE$

`=> M, O, A` thẳng hàng

d) Để `DPQE` là hình chữ nhật  `=> QE⊥PQ => QE⊥BC`

mà $QE//AM$ `=> AM⊥BC`

`ΔABC` vuông tại `A` có:

`AM` vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

`=> ΔABC` vuông cân tại `A`