Sin^2(x)+ cos^2(4x)=2

Đáp án:

$x=\dfrac{\pi}2+k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

Lời giải:

Ta có

$\sin^2x \leq 1$ và $\cos^2(4x) \leq 1$ với mọi $x$.

Suy ra

$\sin^2x + \cos^2(4x) \leq 2$ với mọi $x$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 

$\sin^2x = \cos^2(4x) = 1$

TH1: $\sin x = \cos(4x) = 1$

Suy ra

$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $4x = 2k\pi$

hay

$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{k\pi}{2}$

Kết hợp hai trường hợp ta có $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$

TH2: $\sin x = \cos(4x) = -1$

Khi đó

$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $4x = \pi + 2k\pi$

suy ra

$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$.

Kết hợp hai nghiệm ta thấy 2 nghiệm ko có điểm chung. Vậy trường hợp này vô nghiệm.

TH3: $\sin x = 1$ và $\cos(4x) = -1$

Khi đó

$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$

Kết hợp hai nghiệm ta thấy 2 nghiệm ko có điểm chung. Trường hợp này vô nghiệm.

TH4: $\sin x = -1$ và $\cos(4x) = 1$

Khi đó

$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{k\pi}{2}$

Kết hợp hai nghiệm ta có $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$.

Kết luận tập nghiệm là

$S = \left\{ \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \right\}=\left\{{\dfrac{\pi}2+k\pi}\right\}$ $(k\in\mathbb Z)$.