Cho hình vuông ABCD , E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối BC sao cho BF = DE a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh I thuộc BD c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông

Giải thích các bước giải:

a, Xét 2 tam giác vuông ΔADE và ΔABF có:

AD = AB (ABCD là hình vuông); DE = BF (gt)

⇒ ΔADE = ΔABF (2 cạnh góc vuông)

⇒ AE = AF (1) và $\widehat{DAE}$ = $\widehat{BAF}$ 

mà $\widehat{DAE}$ + $\widehat{BAE}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{BAF}$ + $\widehat{BAE}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{EAF}$ = $90^{o}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔEAF vuông cân (đpcm)

b, ABCD là hình vuông ⇒ BA = BC và DA = DC

⇒ BD là đường trung trực của AC (3)

ΔEAF vuông cân tại A có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền 

⇒ AI = $\frac{1}{2}$EF

ΔCEF vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ CI = $\frac{1}{2}$EF

⇒ CI = AI ⇒ I thuộc đường trung trực của AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: I thuộc BD (đpcm)

d, Tứ giác AEKF có 2 đường chéo AK, EF cắt nhau tại I là trung điểm mỗi đường

⇒ AEKF là hình bình hành

mà AE = AF và $\widehat{EAF}$ = $90^{o}$

⇒ AEKF là hình vuông (đpcm)