Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho góc AMB = 60 độ. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. a) Chứng minh: AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B;BM) b) Chứng minh: MN^2 = 4AH.HB c) Chứng minh tam giác BNM đều và điểm O là trọng tâm của nó d) Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt đường tròn (B) tại F. chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng.

a) Xét (O;R) có gócAMB = gócANB = 90độ 
=>AM vuông BM ; AN vuông BN 
Xét (B;BM) có M,N thuộc (B;BM) 
AM vuông BM; AN vuông BN 
=>AN,AM là các tiếp tuyến của (B;BM) 
b) Xét tam giác AMB vuông tại M, MH là đường cao 
=> MH bình = AH.HB 
Có AB là đường kính cắt MN tại H

=> H là trug điểm MN 
=> MH = 1/2 MN 
Thay vào biểu thức trên 
=> (MN/2)bình = AH.HB 
<=> MNbình = 4AH.HB 
c) Có AB là đường trung trực MN 
B thuộc AB => tam giác MNB cân tại B 
Xét tam giác MAB có:
gócM+A+B = 180 
<=> 90 + 60 + B = 180 
<=> gócABM = 30 
Tam giác BNM cân tại B có BH là trung tuyến

=> BH đồng thời là phân giác 
=> Góc NBH = MBH = MBN/2 
=> MBN = 60 
Tam giác BNM cân tại B có góc MBN=60

=> tam giác đều 
Tam giác AMB vuông tại M 
=> AM = sin(MBA).AB = 1/2 AB = AO 
Tam giác AOM có: 
AO = AM 
A = 60 
=> AOM đều 
có MH là đường cao => MO đồng thời là trung tuyến => H là trung điểm AO 
=> HO = 1/2 AO = 1/2 BO 
=> HO = 1/3 BH => OB = 2/3 BH 
Tam giác đều BNM có BH là trung tuyến 
O thuộc BH, BO = 2/3 BH 
=> O là trọng tâm 
d) ME là đg kính (O) => O là trug điểm ME 
Tam giác MNE có HO là đg trg bình ứng với NE 
=> HO // NE 
MF là đg kính (B) => B là trug điểm MF 
Tam giác MNF có HB là đg trg bình ứng với NF 
=> HB // NF 
Theo định lý O'clit

=> NE trùng NF

=> N,E,F thẳng hàng