cho đường thẳng y=(m-2)x+2 a) tìm điểm cố định của (d) b) tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1 c) tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)` Gọi điểm `M(x_0;y_0)` là điểm cố định mà đường thẳng `(d)` luôn đi qua `AAm`

`=>x=x_0;y=y_0` thoả mãn phương trình đường thẳng `y=(m-2)x+2`

Thay `x=x_0;y=y_0` vào phương trình đường thẳng `y=(m-2)x+2` ta được:

`y_0=(m-2)x_0+2` (luôn đúng `AAm`) 

`mx_0-2x_0+2-y_0=0` (luôn đúng `AAm`) 

`mx_0-(2x_0-2+y_0)=0` (luôn đúng `AAm`) `(***)`

Vì `(***)` luôn đúng `AAm`

`=>` `{(x_0=0),(2x_0-2+y_0=0):}`

`=>` `{(x_0=0),(y_0=2):}`

`=>` Điểm `M(0;2)` là điểm cố định mà đường thẳng `(d)` luôn đi qua `AAm`

Vậy điểm `M(0;2)` là điểm cố định mà đường thẳng `(d)` luôn đi qua `AAm`

____

`b)_m=2=>y=2`

`=>` Khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng `(d)` bằng `2`

`=> m=2(loại)`

`=> m ne 2`

Gọi `N` là giao của đồ thị với trục `Ox`

`_` Cho `y=0=>x=(-2)/(m-2)=>` Ta có điểm `N((-2)/(m-2);0)` là giao của đồ thị với trục `Ox`

`=>ON=|(-2)/(m-2)|=|2/(m-2)|`

Có điểm `M(0;2)` là điểm cố định mà đường thẳng `(d)` luôn đi qua `AAm`

`=>OM=|2|(` đơn vị độ dài `)`

Từ `O` kẻ `OH bot (d)(H in (d))`

`=>OH` là khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng `(d)`

Áp dụng công thức ta có:

`1/(OH^2)=1/(ON^2)+1/(OM^2)`

`=>1/(OH^2)=1/(2/(m-2))^2+1/(2^2)`

`1/(OH^2)=((m-2)^2)/(2^2)+1/4`

`1/(OH^2)=((m-2)^2+1)/4`

`=>OH^2=4/((m-2)^2+1`

Mà khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng `(d)` bằng `1`

`=>OH=1`

`=>OH^2=1`

hay `4/((m-2)^2+1)=1`

`=>(m-2)^2+1=4`

`(m-2)^2=4-1=3`

`(m-2)^2=(+-sqrt{3})^2`

`=>` $\left[\begin{matrix} m-2=\sqrt{3}\\ m-2=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.$ 

`=>` $\left[\begin{matrix} m=\sqrt{3}+2\\ m=-\sqrt{3}+2\end{matrix}\right.$ 

Vậy với `m=\sqrt{3}+2` hoặc ` m=-\sqrt{3}+2` thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng `(d)` bằng `1`

____

`c)m=2=>y=2`

`=>` Khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng `(d)` bằng `2(1)`

`_m ne 2`

Ta có `OH^2=4/((m-2)^2+1`

Vì `(m-2)^2>=0AAm`

`=>(m-2)^2+1>=1AAm`

`=>4/[(m-2)^2+1]<=4/1=4AAm`

Hay `OH^2<=4`

`=>OH<=2`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>(m-2)^2=0`

`=>m-2=0`

`=>m=2(TM)`

`=>MaxOH=2<=>m=2(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>MaxOH=2<=>m=2`

Vậy `m=2` thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng `(d)` có giá trị lớn nhất

`@nagii`