Cho hai điểm A(4;3) và B(2; -1). a) Tìm điểm N thuộc Oy sao cho N cách đều 2 điểm A và B. b) Tìm điểm M trên trục Ox sao cho: |vectơ MA + vectơ MB| đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án:

$a) N\left(0;\dfrac{5}{2} \right)\\ b) M(3;0).$

Giải thích các bước giải:

$a) N$ cách đều $A$ và $B$

$\Rightarrow N$ thuộc trung trực $d$ của $AB$

Trung điểm $C$ của $AB$ có toạ độ: $\left\{\begin{array}{l} x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}=3\\ y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}=1\end{array} \right.$

$\Rightarrow C(3;1)\\ \overrightarrow{AB}=(-2;-4)=-2(1;2)\\ \Rightarrow \vec{n}_d=(1;2)$

Phương trình trung trực $AB:$

$x-3+2(y-1)=0\\ \Leftrightarrow x+2y-5=0$

Giao với $Oy: x=0 \Rightarrow y=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow N\left(0;\dfrac{5}{2} \right)$

$b) I(x_I;y_I)$ là điểm thoả mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow I(3;1)\\ \left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\\ =\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right|\\ =\left|2\overrightarrow{MI}\right|\\ =2MI$

$M \in Ox, MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên trục $Ox$

$\Rightarrow M(3;0).$