Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. a) Chứng minh AH=DE. b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ. d) Chứng minh diện tích ABC = diện tích DEQP

Giải thích các bước giải:

a, Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông ($\widehat{A}$, $\widehat{D}$, $\widehat{E}$)

⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo

⇒ AH = DE (đpcm)

b, HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD ║ AC 

⇒ $\widehat{PHD}$ = $\widehat{HCA}$ (đồng vị) 

ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P

⇒ $\widehat{PHD}$ = $\widehat{PDH}$

ADHE là hình chữ nhật ⇒ $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AHE}$

mà $\widehat{AHE}$ = $\widehat{HCA}$ (cùng phụ với $\widehat{HAE}$)

⇒ $\widehat{ADE}$ = $\widehat{HCA}$ = $\widehat{PHD}$ = $\widehat{PDH}$

Ta có: $\widehat{ADE}$ + $\widehat{EDH}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{PDH}$ + $\widehat{EDH}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{PDE}$ = $90^{o}$ ⇒ DP ⊥ DE

Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE

⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)

c, Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC

⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ ║ AC ⇒ OQ ⊥ AB

Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O

⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)

d, Ta có:

$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BC = PQ.AH (1)

$S_{DEQP}$ = $\frac{1}{2}$.(DP + EQ).DE = $\frac{1}{2}$.(DP + EQ).AH = $\frac{1}{2}$.(HP + HQ)AH = $\frac{1}{2}$.PQ.AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $S_{ABC}$ = 2.$S_{DEQP}$ (đpcm)